Чистая приведенная стоимость (NPV): как дисконтировать денежные потоки и прочитать ответ

1. Почему будущий доллар стоит меньше в арифметике, а не на словах

Вам предлагают 100 долларов сегодня или 100 долларов через год. Помимо простого нетерпения, назовите одну конкретную причину, по которой сегодня мы ценим больше.

Потому что 100 долларов сегодня могут что-то сделать на следующий год. Поместите его туда, где доходность составит 10%, и к этому времени в следующем году он составит 110 долларов. Таким образом, 100 долларов сегодня и 100 долларов в следующем году — это не одно и то же предложение, и размер разницы равен той прибыли, которую вы могли бы получить.

Запустите это в обратном направлении, и вы получите весь метод. Если 100 долларов сегодня вырастут до 110 долларов через год, то 110 долларов, пришедшие через год, сегодня будут стоить ровно 100 долларов. Рост форвардов умножается на 1,10. Возврат назад делит на 1,10. Деление называется дисконтированием, а 10% — ставкой дисконтирования.

Сделайте это дважды в течение двух лет. $100 сегодня вырастают до $110, затем до $121. Таким образом, 121 доллар через два года сегодня стоит 100 долларов, а деление происходит на 1,10 дважды, что составляет 1,21. Три года — это 1,331. Число, на которое вы делите, быстро растет, поэтому деньги в далеком будущем сильно сокращаются.

Два числа, за которые стоит держаться, оба из проекта этой страницы. При ставке дисконтирования 10% доллар, пришедший через пять лет, сегодня стоит 62 цента. Поднимите ставку до 15%, и тот же доллар будет стоить 50 центов. В отношении доллара ничего не изменилось. Ставка сработала.

2. Коэффициент дисконтирования и правило нулевого года.

Каким должен быть коэффициент дисконтирования для денег, которые вы тратите сегодня?

Один. Деньги, потраченные сегодня, уже выражены в сегодняшних долларах, поэтому они вообще не дисконтируются, а деление на 1 оставляет их в покое. Это не особый случай, закрепленный в формуле. Оно из него выпадает, потому что любое число, возведенное в степень 0, равно 1.

Коэффициент дисконтирования за год t по ставке r является (1 + r) возведен во власть t. Текущая стоимость — это денежный поток, разделенный на этот коэффициент.

Чистая приведенная стоимость представляет собой сумму приведенной стоимости каждого года с первоначальными затратами, включенными в виде отрицательного числа в нулевом году. Слово «чистая» представляет собой такое вычитание. Текущая стоимость, которая игнорирует затраты, не является чистой приведенной стоимостью, и в пятом разделе показано, как выглядит эта ошибка, когда она достигает снижения.

Правило принятия решения — одна строка. NPV выше нуля означает, что проект зарабатывает больше, чем требуется от него, поэтому это добавляет ценность. NPV ниже нуля означает, что это не так. Чистая приведенная стоимость, равная ровно нулю, означает, что компания получает именно требуемую прибыль, не более того.

3. Проработанный проект, ряд за рядом.

Сегодня проект стоит $500 000 и окупается $850 000 за пять лет. Угадайте, принесет ли он требуемую доходность в 10% и примерно на какую сумму.

Вот проект. Расширение производственной линии: 500 000 долларов на строительство, затем пять лет дополнительных денежных средств за счет добавленной мощности. Требуемая доходность составляет 10%.

Проверьте одну строку вручную, чтобы доверять остальным. Год 3: 170 000 разделить на 1,331 — 127 723,5, что округляется до 127 724. Добавьте столбец текущей стоимости, и вы получите 137 236.

Посмотрите на две суммы в нижнем ряду, потому что они и составляют весь урок. Без учета дисконтов проект принесет 350 000 долларов. При дисконте 10% чистая прибыль составит 137 236 долларов. Разница в 212 764 доллара — это не цена, которую кто-то платит, и это не цифра в какой-либо бухгалтерской книге. Это доход, который вы бы получили на эти деньги в другом месте в течение пяти лет, и NPV взимает за него плату за проект.

Вердикт, в предложении кто-то может действовать: расширение линейки стоит на 137 236 долларов больше, чем 10% прибыли, которую мы могли бы получить в другом месте на те же 500 000 долларов. Обратите внимание, сколько работы выполняется в этом предложении «на 10 %». Раздел шестой о том, сколько.

Прежде чем читать дальше, скажите своими словами, почему итоговая сумма со скидкой меньше недисконтированной. Если можно так выразиться, остальная часть этой страницы представляет собой тщательную арифметику.

4. Запрос и ставка записаны как 10/100.

Что делает в SQL 10/100 вернуться, когда оба являются целыми числами?

Ноль. И это превращает весь расчет NPV в нечто иное, не меняя ни одной строки данных. Следуйте этому: 10/100 равно 0, поэтому 1 + 10/100 равно 1, поэтому POWER(1, year) равен 1 для каждого года, поэтому каждый денежный поток делится на 1, и дисконтирования вообще не происходит. Запрос выполняется и возвращает 350 000 долларов США, а 350 000 долларов США — это просто необработанная сумма столбца денежного потока.

Это худшая ошибка. Это не ошибка, это не ноль, и 350 000 долларов — вполне правдоподобный ответ для этого проекта. Единственный способ уловить это — знать, что это может случиться.

Рабочий запрос, скорость которого записана в десятичном виде.

SELECT ROUND(SUM(cash_flow / POWER(1 + 0.10, year)), 0) AS npv
FROM project_cash_flows
WHERE project = 'Line Expansion';        -- 137236

И та же идея, по одной строке за раз, что вам действительно нужно на экране, потому что одно число NPV невозможно проверить.

SELECT year,
       cash_flow,
       ROUND(POWER(1 + 0.10, year), 4)             AS discount_factor,
       ROUND(cash_flow / POWER(1 + 0.10, year), 0) AS present_value
FROM project_cash_flows
WHERE project = 'Line Expansion'
ORDER BY year;

Три замечания по арифметике, которые стоит один раз проверить в собственной базе данных.

POWER сам по себе безопасен, поскольку возвращает десятичное число даже при передаче целых чисел, поэтому cash_flow / POWER(...) остается десятичной. Опасность целиком и полностью заключается в том, как ставка достигает этой цели. Запишите расценки как 0.10. Если ставка должна быть получена из столбца, при создании таблицы сделайте этот столбец десятичным типом и проверьте одно значение, прежде чем доверять выходным данным. Та же самая ловушка в процентном виде работает и в валовая, операционная и чистая прибыль.

Одно замечание по переносимости. POWER существует в SQLite, PostgreSQL, SQL Server, MySQL, Оракул, Снежинка и Большой запрос, хотя в более старых сборках SQLite он может не быть скомпилирован. Там, где он отсутствует, EXP(year * LN(1 + 0.10)) это тот же расчет, который работает везде, где есть журналы.

5. Две ошибки на единицу: какая из них меняет решение

Ваша таблица денежных потоков была построена с номером строки вместо номера года, поэтому первый приток помечен 0 вместо 1. Чистая приведенная стоимость получается слишком высокой или слишком низкой?

Слишком высоко и очень сильно. Каждый приток дисконтируется на год меньше, чем должен быть, поэтому каждый из них сегодня стоит больше, чем есть на самом деле, в то время как стоимость в нулевом году остается нетронутой. Для этого проекта правильный ответ — 137 236 долларов, а неправильно названный — 200 960 долларов, что является завышением на 63 724 доллара, что составляет 46%.

Это важно, потому что может изменить ответ. Возьмите те же пять притоков при первоначальных затратах в размере 660 000 долларов вместо 500 000 долларов.

Номер строки и номер года в таблице выглядят одинаково. Ничто в запросе не может отличить их друг от друга. Проверка, которая его ловит, занимает пять секунд: строка «год-0» — это деньги, которые вы тратите сегодня, и она должна быть единственной отрицательной и единственной, чья текущая стоимость равна денежному потоку. Если ваша строка года 0 является притоком, метки смещаются.

О втором отключении стоит знать, потому что оно ведет себя совершенно по-другому. Если весь сдвиги потоков, затраты и все такое, поэтому затраты находятся на уровне 1, а притоки - на уровне от 2 до 6, затем каждая приведенная стоимость делится на одну дополнительную 1,10, и NPV увеличивается со 137 236 до 124 760 долларов. Это ровно 137 236 долларов, разделенные на 1,10. Поскольку все движется вместе, знак не может измениться, поэтому решение «принять или отклонить» всегда безопасно, даже несмотря на скидку 9,1%. Только частичный сдвиг опасен, и именно частичный сдвиг и происходит.

Третья ошибка в этой семье не имеет ничего общего с годами. Первоначальная стоимость просто отсутствует в таблице, потому что она находится в другой системе или потому что кто-то отфильтровал year > 0 чтобы удалить то, что выглядело как пустая строка.

SELECT ROUND(SUM(cash_flow / POWER(1 + 0.10, year)), 0)
FROM project_cash_flows
WHERE project = 'Line Expansion' AND year > 0;      -- 637236

637 236 долларов США при реальной чистой приведенной стоимости в 137 236 долларов США. Завышена ровно на те 500 000 долларов, которые не были учтены, и в самой цифре нет ничего, что могло бы об этом сказать. Это текущая стоимость, а не чистая приведенная стоимость, а недостающее слово — это вся стоимость проекта.

Представьте себе проектный стол вашей компании. Где отражается авансовая стоимость и находится ли она в той же строке, что и доходность? Если он находится в капитальном бюджете где-то еще, каждая чистая приведенная стоимость, которую кто-либо учитывает в этой таблице, представляет собой валовую приведенную стоимость, имеющую неправильное название.

6. Ставка — это предположение, а IRR — наоборот.

Те же пять денежных потоков, те же затраты в 500 000 долларов. Угадайте, какая ставка сделает этот проект нецелесообразным.

Чуть меньше 20%. Вот тот же проект с семью различными требуемыми доходами, больше ничего не изменилось.

Один проект, один набор денежных потоков, и вердикт колеблется от 15% до 20%. Каждая строка арифметически совершенна. Скорость – это не то, о чем вам говорят данные; это то, что вы выбираете и затем должны защищать. Чистая приведенная стоимость, представленная без ставки рядом с ней, не является результатом, она равна половине единицы.

Откуда берется ставка, на практике. Это доход, который компания требует от денег, которые она подвергает риску, обычно это средневзвешенная стоимость капитала, иногда пороговая ставка, установленная финансовой командой, иногда доход, доступный для сопоставимых инвестиций. Более рискованные проекты получают более высокую ставку, и именно так риск входит в арифметику: более высокая ставка сильнее всего наказывает отдаленные денежные потоки, поэтому спекулятивные проекты с отдаленными выплатами должны быть намного крупнее, чтобы их можно было очистить.

Ставка, которая делает NPV точно равной нулю, имеет название: внутренняя норма доходности, или IRR. По данному проекту это 19,80%. Считайте это собственной доходностью проекта, необходимой ставкой безубыточности. Выше этого проект стоит сделать; ниже этого нет.

IRR не является расчетом SQL. Решения в закрытой форме не существует, поэтому его можно найти путем проверки ставок до тех пор, пока NPV не достигнет нуля, что требует итерации, чего не позволяет простой SQL. Вот почему практическое разделение труда таково: вычислите NPV в SQL по ставке, которую использует ваша компания, и передайте IRR в электронную таблицу или скрипт Питон. Если вам нужен приблизительный IRR, не выходя из SQL, запустите запрос NPV для нескольких ставок, как указано выше, и считайте, где меняется знак. Здесь от 15% до 20% и 19,80% при правильном решении.

Стоит иметь еще два номера, оба из одного проекта. Срок окупаемости, момент, когда недисконтированные денежные средства вновь увеличивают стоимость, составляет 3,11 года. Дисконтированная окупаемость, тот же вопрос в сегодняшних долларах, составляет 3,84 года. Расплату легко объяснить, и она игнорирует все, что происходит после приземления, поэтому это полезный второй номер и плохой первый.

7. Полное до и после

Один и тот же проект, но два способа представить его лицу, принимающему решения.

До

«Расширение линии стоит 500 000 долларов и приносит 850 000 долларов в течение пяти лет, то есть доходность 70%. Рекомендую одобрение». Ничего там не ложного. Читатель не может знать, что 850 000 долларов поступают медленно, что доходность составляет 70% в течение пяти лет, а не 70% в год, или что тот же проект теряет деньги, если требуемая прибыль компании составляет 20%. А одно число не имеет никакой ставки, поэтому никто в комнате не может с ним не согласиться.

после

Тот же проект, четыре дополнительных строки, и весь разговор меняется. Цена указана на странице, поэтому с ней можно поспорить. На странице представлены две другие ставки, поэтому читатель может увидеть, сколько места осталось до изменения ответа. И рекомендация теперь имеет форму: профинансируйте его, если наша требуемая доходность будет ниже примерно 19,8%, а маржа упадет выше 15%. Это предложение, с которым финансовый директор может либо согласиться, либо исправить, и это самое полезное, что может быть в анализе.

8. Крайние случаи, которые NPV не видит

NPV оказывается ровно нулевым. Принять или отклонить?

Ноль означает, что он получает именно требуемую прибыль. Это не поражение и не победа. Проект вернет ровно столько, сколько деньги были бы заработаны в другом месте, поэтому, исходя только из цифр, это подбрасывание монеты, и решение принимается во всем, что не учитывается в цифрах: стратегия, риск, что еще можно сделать с помощью денег, чему команда учится, делая это.

Денежный поток – это не прибыль. Чистая приведенная стоимость требует движения денежных средств, а не бухгалтерской прибыли. Амортизация является реальным расходом в отчете о прибылях и убытках, и денежные средства не покидают здание, поэтому они не относятся к строке о движении денежных средств. Если кто-то передает вам прогнозируемую прибыль проекта и просит указать чистую приведенную стоимость, первая задача — конвертировать ее обратно в наличные.

Конец модели — не конец проекта. Производственная линия, которая все еще работает в шестой год, имеет ценность, которую пятилетняя модель теряет впустую. Либо расширьте модель, либо добавьте конечную стоимость в последний год. Что бы вы ни сделали, так и скажите, потому что пятилетняя чистая приведенная стоимость пятнадцатилетнего актива сильно ее занижает.

Денежные потоки прогнозируются, а NPV указывается с точностью до доллара. 137 236 долларов имеют шестизначную кажущуюся точность, основанную на оценках, которые в любом случае могут отличаться на 20%. Пересчет чистой приведенной стоимости в доллары вызывает доверие, которого никто не заслужил. Округлите в сводке до ближайшей тысячи, оставьте полное число в рабочем значении и покажите хотя бы одну альтернативную ставку, чтобы диапазон был виден.

Годы – не всегда подходящий период. Если наличные поступают ежемесячно, делайте скидку ежемесячно, и сначала необходимо конвертировать курс. Годовая ставка 10% — это не 10, разделенное на 12 в месяц; это 1,10 в одной двенадцатой степени минус 1, что составляет около 0,797% в месяц. Смешение годовой ставки с месячными периодами — большая ошибка, замаскированная под маленькую.

Соглашения о знаках должны быть последовательными. Для каждой модели необходимо одно правило: затраты отрицательные, притоки положительные. Стоимость, сохраненная в виде положительного числа в столбце, который затем суммирует запрос, не даст сбоя, она просто скажет вам, что проект замечательный.