Скользящие средние: сглаживание серии без сглаживания истины

1. Как скользящее среднее влияет на ваши цифры

Перед объяснением: посмотрите на третью, четвертую и пятую недели в этой таблице: 660, 240, 660. Решите, говорит ли вам цифра 240 о падении бизнеса, прежде чем читать дальше.

Это не так, и именно эту проблему решает скользящая средняя. Любой отдельный период содержит две вещи, смешанные воедино: то, что происходит на самом деле, и случайность того, какие приказы поступили на этой неделе. 240 штук четвертой недели — это заказ на одну небольшую лампу. Это не обвал спроса, это вторник.

A Скользящее среднее разделяет их путем усреднения по окну последовательных периодов. Случайные взлеты и падения частично компенсируются, потому что высокие и низкие несчастные случаи находятся в одном окне. Ничего продолжительного не отменяется, поскольку оно присутствует в каждом периоде окна. На выходе получается устойчивая часть с затухающими авариями.

Демпфирование можно измерить. Наши необработанные недельные показатели имеют стандартное отклонение 236,81. Среднее значение за три недели составляет 100,56, а среднее значение за пять недель — 61,95. Чем шире окно, тем чаще происходит отмена, и в третьем разделе рассказывается о том, сколько это стоит.

2. Построение среднего показателя за три недели вручную

Перед арифметикой: вам нужен средний показатель за три недели за неделю, начинающуюся 19 января. Прежде чем читать дальше, скажите, какие три недели на это уйдут. Есть два оправданных ответа, и разница имеет значение.

Общий ответ - тянущийся окно: эта неделя и две до нее. Это 660, 850 и 880, что в среднем равно (660 + 850 + 880) ÷ 3 = 796.67. Затем вы перемещаете окно вперед на одну неделю, удаляя самые старые и поднимая самые новые.

Из этой таблицы следует прочитать две вещи. Первые две недели не имеют вообще никакой ценности, потому что для трехнедельного окна требуется три недели, а каждая скользящая средняя начинается с опозданием на длину окна минус одна. А скачок в 1100 человек на неделе с 9 марта никогда не появляется в гладком ряду; самое близкое к этому - это повышение трех средних значений подряд до 620, 606,67 и 768,33.

# pandas
s.rolling(3).mean()              # trailing, needs 3 values
s.rolling(3, min_periods=1).mean()   # starts immediately, first values on fewer rows

-- SQL: a window frame is exactly a moving average
SELECT OrderDate,
       Revenue,
       AVG(Revenue) OVER (ORDER BY OrderDate
                          ROWS BETWEEN 2 PRECEDING AND CURRENT ROW) AS ma3
FROM Orders
ORDER BY OrderDate;

' Excel, with revenue in B2:B17 and the formula from B4's row
=IF(ROW()-ROW($B$2)<2, "", AVERAGE(B2:B4))

Версия SQL заслуживает второго взгляда, потому что ROWS BETWEEN 2 PRECEDING AND CURRENT ROW это определение, записанное словами. Если оконные рамы новые, Оконные функции охватывает всю семью и текущие итоги это та же машина с другой рамой.

3. Выбор окна и стоимость каждой длины.

Перед сделкой: более длинное окно сглаживает больше. Назовите, от чего вы ради этого отказываетесь, прежде чем читать дальше.

Вы отказываетесь от оперативности и отказываетесь от данных в самом начале. Вот три цифры, которые делают сделку конкретной в нашей серии.

Пятинедельная версия очень гладкая: она выбрасывает четыре из ваших шестнадцати недель и сжимает реальный диапазон шириной 860 до 186. Если что-то действительно изменилось за последние две недели, среднее значение за пять недель покажет вам примерно две пятых этого.

Правило, которое побеждает вкус: сопоставьте окно с циклом, который вы хотите удалить.

• Ежедневные данные с графиком будних дней: используйте 7. Среднее значение за семь дней всегда содержит ровно один день недели, поэтому эффект дня недели отменяется полностью, а не частично.
• Еженедельные данные: 4 за месяц, 13 за квартал.
• Ежемесячные данные с сезонным характером: используйте 12 по той же причине, что и 7 для ежедневных данных.
• Никакого цикла, просто шум: выберите самое короткое окно, в котором диаграмма будет читабельной, и скажите, что это такое.

Скажите вслух, почему 6-дневное среднее значение ежедневных данных хуже, чем 7-дневное, хотя оно почти такое же гладкое. Шестидневное окно содержит два дня недели и ни одного другого, и какие из них меняются по мере скольжения окна. Усредненная линия тогда несет в себе колебание, которого нет у необработанных данных, что является наихудшим возможным результатом этапа сглаживания.

Теперь представьте себе самый загруженный график. Какой цикл в нем содержится, и соответствует ли окно, которое вы используете, если вы его используете, этому циклу?

4. Трейлинг по центру и отставание

Перед сравнением: наше скользящее среднее значение 796,67 соответствует неделе 19 января, но оно было рассчитано для 5, 12 и 19 января. Скажите, где на временной шкале действительно находится это число.

В середине, 12 января. Скользящее среднее систематически запаздывает на половину окна, потому что оно отмечает окно своим правым краем. Это отставать, и это не ошибка, это прямые затраты на использование только той информации, которая у вас действительно была на тот момент.

Центральный столбец представляет собой те же числа, сдвинутые на одну строку вверх. Ничего не пересчитывалось, только переименовывалось, и именно перемаркировка устраняет задержку.

Какой из них использовать, сводится к одному вопросу: должно ли значение быть честным в отношении того, что вы знали на тот момент?

Использовать трейлинг для чего-либо оперативного или перспективного. Панель мониторинга, оповещение, ввод прогноза. Центрированное среднее значение использует будущие данные, поэтому центрированная линия на интерактивной информационной панели указывает на знания, которых у вас нет, и они будут меняться под вашим руководством по мере поступления новых данных.

Использовать по центру для исторического описания, когда все данные уже существуют и вы хотите, чтобы линия тренда правильно располагалась на временной шкале. Именно по этой причине при сезонной декомпозиции используются центрированные средние значения.

Центрированные окна также требуют нечетной длины, поэтому получается настоящий средний период. При равномерном окне вы в конечном итоге усредняете два соседних центрированных средних, что является реальной, но неудобной техникой и является основной практической причиной предпочтения 3, 5, 7 и 13, а не 4, 6 и 12.

5. Недостающие недели, которые молча портят его

Перед ловушкой: наша серия перескакивает с 23 марта на 4 мая. Пять недель без заказов. Чего-чего rolling(3) сделаем с этим, прежде чем читать дальше.

Он будет усредняться по всей дыре и сообщать вам, что ничего не произошло. Посмотрите, что дает скользящее трехнедельное среднее за неделю с 4 мая, если разрыв не представлен в данных.

Week of 2026-05-04, 3-week trailing average = 601.67
  built from: 2026-03-16   440
              2026-03-23   765
              2026-05-04   600

Эти три «последовательные» недели охватывают девять недель календаря. Число 601,67 выглядит совершенно обычным, сидя в колонке, и это среднее значение за март и май с пятью неделями, когда ничего не было незаметно удалено. Ничего не ошибается, ничего не предупреждает, и плавная линия скользит прямо через двухмесячную дыру.

Причину стоит указать прямо: rolling у pandas и ROWS BETWEEN в SQL оба учитываются Строки, а не время. Если у периода нет строк, значит, у него нет строк, поэтому его нет в вашей таблице, поэтому его нельзя посчитать. Группировка никогда не изобретает периоды, которых она не видела.

Исправление одно и то же, что требуется для каждого расчета, основанного на времени. Создайте полный набор периодов, объедините с ним свои данные и решите, что означают пустые.

# reindex onto every Monday in the range
full = s.asfreq('W-MON')          # missing weeks appear as NaN
full.rolling(3).mean()            # now NaN through the gap: correct and visible
full.fillna(0).rolling(3).mean()  # gap treated as zero sales

Три оправданных ответа и один неоправданный. Если считать разницу равной нулю, это означает, что у компании не было продаж, что верно, если магазин был закрыт, и неверно, если данные просто не поступили. Если оставить это как отсутствие данных, это означает, что вы не можете вычислить среднее значение, и это правильно, если вы не знаете. Полностью игнорируя календарь, в первой колонке говорится, что пяти недель никогда не существовало, и что их никто не выбрал намеренно.

Решение о том, какой из первых двух вариантов применим, — это вопрос данных, а не вопроса статистики, и это то же самое решение, что и в обработка пропущенных значений. Важно то, что вы делаете это, а не позволяете rolling сделать это для тебя.

6. Взвешенная и экспоненциальная версии.

Перед идеей: простое среднее значение за три недели рассматривает прошлую и позапрошлую неделю как одинаково информативные. Скажите, верите ли вы в это, прежде чем читать дальше.

Обычно нет. Последние периоды обычно более актуальны, и есть два стандартных способа сказать это.

A взвешенное скользящее среднее присваивает явные веса, которые добавляются к единице. Веса 0,5, 0,3 и 0,2 за последние три недели дают для недели с 23 марта: 0,5 × 765 + 0,3 × 440 + 0,2 × 1100 = 382,5 + 132 + 220 = 734.50, против обычного среднего значения 768,33. Он прозрачен, и вам нужно придумать веса.

Ан экспоненциально взвешенное среднее избегает их придумывать. Он использует одно число, обычно называемое альфа, и смешивает каждое новое значение с скользящим средним по этой дроби.

new average = alpha × this week + (1 − alpha) × last week's average

Если в нашей серии альфа = 0,3, первое значение равно 880, затем 0,3 × 850 + 0,7 × 880 = 871,00, затем 0,3 × 660 + 0,7 × 871 = 807,70 и так далее. Каждая прошедшая неделя по-прежнему вносит свой вклад, и ее влияние уменьшается по мере отдаления назад. Он никогда полностью не забывает и никогда не дает старой неделе много сказать.

s.ewm(alpha=0.3, adjust=False).mean()
# 880.00, 871.00, 807.70, 637.39, 644.17, 654.92, ...

Два практических преимущества перед обычным окном. Начального разрыва нет, потому что первое значение — это просто первое наблюдение. И здесь нет никакой длины окна, которую нужно защищать, только альфа, где более высокое значение означает более отзывчивое, а более низкое означает более плавное. Альфа от 0,2 до 0,3 является разумной отправной точкой для еженедельных бизнес-данных.

Одно предостережение, которое применимо ко всем трем. Экспоненциальное сглаживание учитывает все прошлые значения, поэтому всплеск никогда не покидает ряд полностью, а только затухает. В обычном трехнедельном окне скачок в 1100 пунктов полностью исчез через три недели. Какое поведение вы хотите — это реальный выбор, а не деталь.

7. Для чего нельзя использовать скользящую среднюю

Прежде чем предупредить: плавная линия очень убедительна. Прежде чем читать дальше, назовите что-нибудь, что скользящая средняя не может вам сказать.

Это не прогноз. Скользящее среднее говорит вам, где находилось недавнее прошлое, и продление его на будущее — это метод прогнозирования, но слабый, не предполагающий ни тренда, ни сезонности. Его стоит вычислять именно потому, что это базовый уровень, который должен превзойти все, что более продвинуто, и Точность прогноза это то, как вы проверяете, произошло ли это.

Это не делает тренд реальным. Скользящее среднее создает плавную, убедительную восходящую линию на основе данных, которые представляют собой чистый шум, поскольку усреднение соседних случайных чисел создает видимые пробеги. Три точки роста на сглаженной линии ни о чем не свидетельствуют.

Он не может обнаружить точку изменения за последние несколько периодов. По своей конструкции самое последнее значение разбавляется более старыми, поэтому настоящий сдвиг на прошлой неделе проявляется как небольшой толчок. Если задача состоит в обнаружении недавних изменений, смотрите на необработанную серию с контрольным пределом, а не на плавную линию.

Он не должен заменять необработанные данные на графике. Постройте оба. Читатель, которому показана только гладкая линия, не может судить, насколько она была сглажена, а разница между колебанием 237 и колебанием 62 — это информация, которая ему нужна.

Скажите в одном предложении, почему сама по себе плавная линия — это версия, которая, скорее всего, введет в заблуждение. Это потому, что гладкость воспринимается как уверенность, а этап сглаживания — это именно тот шаг, который устраняет признаки неопределенности. Это тот же аргумент, что и в Как графики вводят в заблуждение, применяется к технике, а не к оси.

Крайние случаи, которые застают людей врасплох

Шесть, каждая из которых стоила кому-то дня.

min_periods незаметно меняет смысл. rolling(3, min_periods=1) дает вам значение из самой первой строки, но это значение представляет собой среднее значение по одной строке, указанное в столбце с надписью «три недели». Удобен для графиков, вводит в заблуждение в виде таблицы.

Повторяющиеся строки за один и тот же период. Если у двух заказов одна и та же дата, и вы сначала не агрегировали данные, окно на основе строк усредняет заказы, а не дни, и длина окна больше не означает то, что говорит его название. Всегда агрегируйте по одной строке за период перед сглаживанием.

Сортировка. Оконная функция без ORDER BYили DataFrame, не отсортированный по дате, выдает скользящее среднее в любом порядке, в котором находились строки. Это не приведет к ошибкам и будет выглядеть правдоподобно.

Усреднение курса. Скользящее среднее коэффициента конверсии одинаково влияет на каждый период независимо от трафика. Если вам нужен сглаженный коэффициент, сгладьте числитель и знаменатель отдельно и разделите в конце.

Последняя точка перемещается. Вчерашнее трехдневное среднее значение меняется при поступлении сегодняшних данных, если окно расположено по центру, и не меняется, если оно скользящее. Панель мониторинга, исторические цифры которой меняются в одночасье, обычно представляет собой центрированное среднее значение, которое должно было бы отставать.

Сравнение двух серий сгладилось по-разному. Среднее значение за 7 и 30 дней одних и тех же данных будут постоянно пересекаться, и эти пересечения ничего не значат для бизнеса. Если вы показываете два окна, скажите, для чего предназначено каждое из них.